опустошенность в баллах. Медицинских сестер разделили на три группы в зависимости от тяжести состояния больных, с которыми они работали

(1-я группа — наиболее тяжелые больные, 3-я — самые легкие).

Далее каждую группу разделили на две — медицинские сестры

хирургических и терапевтических отделений, таким образом получилось 6 групп по 16 медицинских сестер в каждой. Являются

ли различия между 6 группами статистически значимыми?

Группа

J 2 3

Хир. Тер. Хир. Тер. Хир. Тер.

Среднее 49,9 51,2 57,3 46,4 43,9 65,2

Стандартное отклонение 14,3 13,4 14,9 14,7 16,5 20,5

Объем выборки 16 16 16 16 16 16

3.7. Нитропруссид натрия и дофамин — препараты, которые

широко используют при инфаркте миокарда. (Инфаркт миокарда развивается вследствие закупорки одной из коронарных артерий. Кровь перестает поступать к тому или иному участку миокарда, который в результате отмирает от недостатка кислорода.) Считается, что нитропруссид натрия облегчает работу сердца и тем самым снижает потребность миокарда в кислороде; в результате устойчивость миокарда к недостаточному кровоснабжению повышается. Дофамин препятствует падению артериального давления и увеличивает поступление крови к пораженному участку через дополнительные сосуды (так называемые коллатерали). К. Шатни и соавт. (С. Shatney et al. Effects of infusion of dopamine and nitroprusside on size of experimental myocardial infarction. Chest, 73:850—856, 1978) сравнили эффективность этих препаратов в опытах на собаках с инфарктом миокарда. Инфаркт миокарда вызывали перевязкой коронарной артерии, после чего вводили препарат (собакам контрольной группы вводили физиологический раствор). Через 6 часов собак забивали и взвешивали пораженный участок миокарда, результат выражали в процентах от веса левого желудочка. Препарат для каждой собаки выбирали случайным образом. Исследователь, взвешивавший миокард, не знал, какой препарат вводили собаке. Полученные данные приведены в таблице:

Вес пораженного участка миокарда (в процентах от веса левого желудочка)

Группа Число животных Среднее Стандартная ошибка среднего

Контроль 30 15 1

Дофамин

низкая доза 13 15 2

высокая доза 20 9 2

Нитропруссид 20 7 1

Можно ли считать различия между группами статистически значимыми? (Формулы для дисперсионного анализа при неравной численности групп найдите в прил. А.)

3.8. Считается, что выработка тромбоцитов (форменных элементов крови, играющих важную роль в ее свертывании) у но

ворожденных регулируется иначе, чем у взрослых. Исследуя эту регуляцию, X. Бесслер и соавт. (Н. Bessler et al. Thrombopoietic activity in newborn infants. Biol. Neonate, 49:61—65, 1986) определили содержание тромбоцитов в крови взрослых и грудных детей разного возраста. Можно ли говорить о существовании различий в количестве тромбоцитов?

Число тромбоцитов, мкл 1

Число Стандартное

Группа обследованных Среднее отклонение

Взрослые 15 257 159

Дети в возрасте

4 суток 37 196 359

1 месяца 31 221 340

2 месяцев 13 280 263

4 месяцев 10 310 95

Глава 4

Сравнение двух групп: критерий Стьюдента

В предыдущей главе мы познакомились с дисперсионным анализом. Он позволяет проверить значимость различий нескольких групп. В задачах к этой главе вы видели, что нередко нужно сравнить только две группы. В этом случае можно применить критерий Стьюдента. Сейчас мы изложим его сущность и покажем, что критерий Стьюдента — это частный случай дисперсионного анализа.

* A. R. Feinstein. Clinical biostatistics: a survey of statistical procedures in general medical journals. Clin. Pharmacol. Ther., 15:97—107, 1974.

6 - 7038

Критерий Стьюдента чрезвычайно популярен, он используется более чем в половине медицинских публикаций*. Однако следует помнить, что этот критерий предназначен для сравнения именно двух групп, а не нескольких групп попарно. На рис. 4.1 представлено использование критерия Стьюдента в статьях из журнала Circulation. Критерий был использован в 54% статей, и чаще всего неверно. Мы покажем, что ошибочное использование критерия Стьюдента увеличивает вероятность «выявить» не

существующие различия. Например, вместо того чтобы признать несколько методов лечения равно эффективными (или неэффективными), один из них объявляют «лучшим».

ПРИНЦИП МЕТОДА

Предположим, что мы хотим испытать диуретическое действие нового препарата. Мы набираем десять добровольцев, случайным образом разделяем их на две группы — контрольную, которая получает плацебо, и экспериментальную, которая получает препарат, а затем определяем суточный диурез. Результаты предА

X±s п=5

Плацебо О

ООО о

Препарат

п= 5

о О О О О

—I j 1 -J I I

800 1000 1200 1400 1600 1800

Плацебо О О п - 20

ООО

о о о о о о

ООООООО

Препарат О п - 20

К ООО

о о о о о о о о о о о о о о о о| г 1 ГТ

800 1000 1200 1400 1600 1800

Суточный диурез, мл

Рис. 4.2. Результаты испытаний предполагаемого диуретика. А. Диурез после приема плацебо и препарата. В обеих группах по 5 человек. Б. Теперь в обеих группах по 20 человек. Средние и стандартные отклонения остались прежними, однако доверие к результату повысилось.

ставлены на рис. 4.2А. Средний диурез в экспериментальной группе на 240 мл больше, чем в контрольной. Впрочем, подобными данными мы вряд ли кого-нибудь убедим, что препарат — диуретик. Группы слишком малы.

Повторим эксперимент, увеличив число участников. Теперь в обеих группах по 20 человек. Результаты представлены на рис.

4.2Б. Средние и стандартные отклонения примерно те же, что и в 6*

эксперименте с меньшим числом участников. Кажется однако, что результаты второго эксперимента заслуживают большего доверия. Почему?

Вспомним, что точность выборочной оценки среднего характеризуется стандартной ошибкой среднего (см. гл. 2).

где п — объем выборки, а а — стандартное отклонение совокупности, из которой извлечена выборка.

С увеличением объема выборки стандартная ошибка среднего уменьшается, следовательно уменьшается и неопределенность в оценке выборочных средних. Поэтому уменьшается и неопределенность в оценке их разности. Применительно к нашему эксперименту, мы более уверены в диуретическом действии препарата. Точнее было бы сказать, мы менее уверены в справедливости гипотезы об отсутствии диуретического действия. (Будь такая гипотеза верна, обе группы можно было бы считать двумя случайными выборками из нормально распределенной совокупности.)

Чтобы формализовать приведенные рассуждения, рассмотрим отношение:

Разность выборочных средних

Стандартная ошибка разности выборочных средних

Для двух случайных выборок, извлеченных из одной нормально распределенной совокупности, это отношение, как правило, будет близко к нулю. Чем меньше (по абсолютной величине) /, тем больше вероятность нулевой гипотезы. Чем больше /, тем больше оснований отвергнуть нулевую гипотезу и считать, что различия статистически значимы.

Для нахождения величины / нужно знать разность выборочных средних и ее ошибку. Вычислить разность выборочных средних нетрудно — просто вычтем из одного среднего другое. Сложнее найти ошибку разности. Для этого обратимся к более общей задаче нахождения стандартного отклонения разности двух чисел, случайным образом извлеченных из одной совокупности.

Рис. 4.3. А. Из этой совокупности мы будем наугад извлекать пары и вычислять разности. Б. Разности первых шести пар. В. Разности еще ста пар. Разброс разностей больше, чем разброс самих значений.

СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ РАЗНОСТИ

На рис. 4.ЗА представлена совокупность из 200 членов. Среднее равно 0, стандартное отклонение 1. Выберем наугад два члена совокупности и вычислим разность. Выбранные члены помечены на рис. 4.ЗА черными кружками, полученная разность представлена таким же кружком на рис. 4.3Б. Извлечем еще пять пар (на рисунках они различаются штриховкой), вычислим разность Для каждой пары, результат снова поместим на рис 4.3Б. Похоже, что разброс разностей больше разброса исходных данных. Извлечем наугад из исходной совокупности еще 100 пар, для ка

ждой из которых вычислим разность. Теперь все разности, включая вычисленные ранее, изображены на рис. 4.3В. Стандартное отклонение для полученной совокупности разностей — примерно 1,4, то есть на 40% больше, чем в исходной совокупности.

Можно доказать, что дисперсия разности двух случайно извлеченных значений равна сумме дисперсий совокупностей, из которых они извлечены*.

* Интересно, что дисперсия суммы двух случайно извлеченных значений тоже равна сумме дисперсий совокупностей, из которых они извлечены. Отсюда можно вывести формулу для стандартной ошибки среднего: ст

4п

Предположим, что мы случайным образом извлекли п значений из совокупности, имеющей стандартное отклонение ст. Выборочное среднее равно

Х = -(Х1+Х2+Х3+...+Хп\ п

поэтому

пХ = Х{+Х2+Х3+...+Х„.

Так как дисперсия каждого из Х} равна ст2, дисперсия величины пХ составит

2 2 2 2 2 2

(5пх = <* +СТ +СТ +... +СТ =«СТ ,

а стандартное отклонение о„х =7лст.

Нам нужно найти стандартное отклонение среднего X, тождественно равного пХ/п, поэтому

п п V«

Мы получили формулу, которой неоднократно пользовались в пре-дыдущих главах, — формулу для стандартной ошибки среднего. Заметим, что, выводя ее, мы не делали никаких допущений о совокупности, из которой извлечена выборка. В частности, мы не требовали, чтобы она имела нормальное распределение.

В частности, если извлекать значения из одной совокупности, то дисперсия их разности будет равна удвоенной дисперсии этой совокупности. Говоря формально, если значение X извлечено из совокупности, имеющей дисперсию а \, а значение Y из совокупности, имеющей дисперсию о \, то распределение всех возможных значений X-Y имеет дисперсию

2 2 2

СX-Y =<5Х + СУ у .

Почему дисперсия разностей больше дисперсии совокупности, легко понять на нашем примере (см. рис. 4.3): в половине случаев члены пары лежат по разные стороны