епарата, важно знать не только уровень значимости, но и величину эффекта. Авторы публикаций редко балуют читателя доверительными интервалами, но обычно все же указывают численность групп, средние величины и их стандартные ошибки. В таких случаях нужно самостоятельно рассчитать стандартные отклонения (произведение стандартной ошибки среднего на квадратный корень из численности группы) и построить доверительный интервал. Этого часто достаточно, чтобы понять, имеет исследование сугубо академическую или еще и практическую ценность.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ СРЕДНЕГО

Продолжим рассматривать разнообразные применения доверительных интервалов. Найдем доверительный интервал для среднего. Определив выборочное среднее X, мы понимаем, разумеется, что это всего лишь выборочная оценка истинного среднего ц, которое, впрочем, скорее всего находится где-то поблизости. «Где-то поблизости» можно охарактеризовать количественно, то есть указать интервал, в котором с заданной вероятностью к находится истинное среднее. Это и будет ^-процентный доверительный интервал для среднего.

Приближенный способ вычисления этого интервала изложен в гл. 2: примерно в 95% случаев выборочное среднее уклоняется от истинного не более чем на две стандартные ошибки среднего. Осталось внести некоторые уточнения.

Ранее мы выяснили, что величина

Разность выборочных средних — Разность

истинных средних

t =

Стандартная ошибка разности выборочных средних

подчиняется распределению Стьюдента. Можно показать, что

Выборочное среднее — Истинное среднее

t =

Стандартная ошибка среднего

также подчиняется распределению Стьюдента. Математическая запись для последней величины выглядит так:

X-\i

t = -.

sx

Дальнейший вывод аналогичен выводу доверительного интервала для разности истинных средних. Опустив промежуточные этапы, приведем формулу 100(1 -а)-процентного доверительного интервала для среднего:

X-taSx где ta — критическое значение t для уровня значимости а и числа степеней свободы v = п -1 (п — объем выборки).

Смысл доверительного интервала для среднего совершенно аналогичен смыслу доверительного интервала для разности средних. Приводя ^-процентный доверительный интервал среднего, мы утверждаем, что вероятность того, что истинное среднее находится в этом интервале, равна к. Иными словами, если получить все возможные выборки из некоторой совокупности и для каждой рассчитать /^-процентный доверительный интервал, то доля интервалов, содержащих среднее по совокупности (истинное среднее), составит к.

Вычислить доверительный интервал несложно, однако — если объем выборки достаточно велик — можно пользоваться и приведенным выше «правилом двух стандартных ошибок». Для выборок, имеющих объем от 20 и выше, f0i05 приблизительно равно 2 (см. табл. 4.1), и мы получим достаточно точный результат. Если же объем выборки меньше 20, доверительный интервал окажется зауженным, а наше представление о точности, с какой мы можем судить об истинном среднем, — преувеличенным.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ РАЗНОСТИ ДОЛЕЙ

Изложенные способы вычисления доверительных интервалов нетрудно приспособить для разности долей. В гл. 5 мы определили критерий z как

Разность выборочных долей

7 — '

Стандартная ошибка разности выборочных долей

Величина z имеет приблизительно нормальное распределение; в гл. 5 мы использовали z для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных долей (или, что то же самое, для оценки статистической значимости различий выборочных долей). Можно показать, что даже если в совокупностях, из которых извлечены выборки, доли различны, то отношение

Разность выборочных долей — Разность истинных долей

z Стандартная ошибка разности выборочных долей

приближенно следует нормальному распределению — при условии, что объемы выборок достаточно велики.

Если рх и р2 — истинные доли в каждой из совокупностей, а рх и р2 — выборочные оценки этих долей, то

(Р\ - А )-(/>! ~Pl)

z -.

Sb\-Pl

8 100(1 -а) процентах случаев z по абсолютной величине не превышает za,то есть

(Pi -Pi)-(P\

SPi-Pi

Преобразовав это неравенство, мы получим формулу для 100(1 -а)-процентного интервала для разности истинных долей:

(Р\ -Pl)-ZaSpx-p2 <Р\ -Pi <(Р\ -P2) + ZaSPi-P2.

Как вы помните, распределение Стьюдента с увеличением числа степеней свободы стремится к нормальному. Поэтому za можно найти в табл. 4.1 — в строке, соответствующей бесконечному числу степеней свободы.

Чаще всего используют 95% доверительный интервал, в этом случае za = z0,o5 = 196.

Галотан и морфин: операционная летальность

В гл. 5 мы сравнивали операционную летальность при галотано-вой и морфиновой анестезии и не нашли статистически значимых различий. Посмотрим, каков 95% доверительный интервал для различия летальностей.

В группе галотана умерли 8 оперированных из 61, доля умерших рх =8/61 =0,13. В группе морфина умерли 10 из 67, р2 =0,15. Разность долей равна рх -р2 =0,13-0,15 =-0,02. Объединенная оценка доли

^!±!1=0,14

61 + 67

1 1

+ —

и стандартная ошибка разности

\П\ П2 )

= 0,14(1-0,14)

V

J J 61 + 67

= 0,062=6,2%.

Тем самым, 95% доверительный интервал для различия летальности имеет вид:

(Р\ -P2)-Zo405SPI-P2 < Р\~Р2 <(Р\ -P2)+Z0№S1

то есть0,020 -1,960 х 0,062 <рх-р2< -0,020 +1,960 х 0,062 и окончательно0,142 < рх -р2 < 0,102.

* При использовании поправки Йейтса нужно раздвинуть границы доверительного интервала, соответственно уменьшив нижнюю и увеличив верхнюю на величину (1/и, + \/п2)/2.

Итак, с вероятностью 95% можно утверждать, что истинная величина различия попадает в интервал между -14,2 и 10,2%. Вычисленный доверительный интервал содержит ноль, поэтому различия летальности статистически не значимы*.

Тромбоз шунта у больных на гемодиализе

В гл. 5 мы рассмотрели влияние аспирина на риск тромбоза шунта у больных на гемодиализе. Доля больных с тромбозом в группе плацебо составила 72%, а в группе, получавшей аспирин, — 32%. Мы уже убедились, что это различие статистически значимо. Однако мы не можем утверждать, что «аспирин снижает риск тромбоза на 40%», — правильнее будет указать доверительный интервал для снижения риска. Стандартную ошибку разности долей мы уже рассчитали в гл. 5, она составляет 0,15. Поэтому 95% доверительный интервал для истинной разности долей имеет вид

0,40-1,96 х 0,15 < рп-рл < 0,40+ 1,96x0,15,

то есть

0,П< рп-ра < 0,69.

Таким образом, в вероятностью 95% можно утверждать, что прием аспирина снижает риск тромбоза на величину от 11 до 69%.

Отрицателен ли «отрицательный» результат?

В гл. 6 мы познакомились со статьей Фреймана и соавт. Они рассмотрели 71 медицинскую публикацию, в которых исследуемый метод лечения не дал статистически значимого снижения частоты неблагоприятных исходов (под неблагоприятным исходом в разных статьях понимали смерть, осложнения и т. п.). Фрейман и соавт. обнаружили, что в большинстве работ численность групп была слишком мала, чтобы обеспечить достаточную чувствительность. Неужели столь огромный труд пропал даром? Попробуем получить из этих работ хоть какую-то информацию.

На рис. 7.3 представлены 90% доверительные интервалы величины эффекта (разность долей неблагоприятных исходов в контрольной и экспериментальной группах). Статистически значимых различий не было выявлено ни в одном случае, поэтому все они содержат ноль. Посмотрим на верхнюю границу доверительных интервалов. Можно заметить, что во многих случаях она отличается от нуля всего на несколько процентов. Иными словами, с вероятностью 90% мы можем утверждать, что эффект, если и существует, весьма незначителен. Дальнейшие исследования

14-7038

1

Различия в пользу контрольной группы

Различия в пользу экспериментальной группы6040

—I 1 г—20 0 20

Величина эффекта, %

40

60

Рис. 7.3. 90% доверительные интервалы величины эффекта в 71 клиническом испытании. Здесь величина эффекта — это разность долей больных с неблагоприятным исходом в контрольной и экспериментальной группах. Поскольку статистически значимого эффекта не было выявлено ни в одном случае, все доверительные интервалы содержат ноль. Видно, что некоторые доверительные интервалы довольно сильно смещены в сторону положительных значений — возможно, при большем числе больных различия достигли бы статистической значимости. В других случаях верхняя граница интервала превышает ноль всего на несколько процентов. Можно сделать вывод, что если соответствующие методы лечения и дают эффект, то очень незначительный.

соответствующих методов лечения вряд ли перспективны. Верхняя граница некоторых интервалов простирается до 30% и даже до 40%. Напомним, что с вероятностью 90% мы можем утверждать, что истинная величина находится внутри доверительного интервала, но где именно — определить невозможно. Поэтому не исключено, что соответствующие методы лечения все же эффективны и при большей численности групп это удалось бы доказать. Если мы решим повторить испытание, то при его планировании стоит учесть полученные оценки. Было бы неразумно, например, рассчитывать чувствительность и численность групп, полагая, что величина эффекта достигнет 50%.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ДОЛИ

Если объем выборки достаточно велик, то доверительный интервал для доли можно приближенно вычислить, используя нормальное распределение*.

Когда выборка мала (а в медицинских исследованиях так оно обычно и бывает), приближение нормальным распределением недопустимо. В таких случаях приходится вычислять точные значения доверительных интервалов, используя биномиальное распределение. Чтобы не обременять читателя вычислительными тонкостями, мы чуть позже приведем графический способ нахождения доверительных интервалов по малым выборкам. Заметим, что при оценке долей по выборкам небольшого объема расчет доверительного интервала особенно желателен. Причина в том, что, если выборка мала, изменение признака даже у одного из ее членов приведет к резкому изменению долей.

Итак, при достаточно большом объеме выборки величина

Наблюдаемая доля — Истинная доля

z =

Станда