кация врача и стоимость анализов, которые он назначает больному в первые 3 дня госпитализации. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена — всего лишь -0,1 3. Можно было бы заключить, что стоимость анализов от квалификации никак не зависит. Б. Приглядевшись к данным повнимательнее, можно заметить, что зависимость на самом деле есть, только не линейная, а похожая на перевернутую букву U. Расходы на анализы выше у врачей средней квалификации, у наиболее и наименее квалифицированных врачей расходы ниже.

1 fl+гЛ Z = -ln

V

l-r

имеет нормальное распределение со стандартным отклонением

1

п-3

Тогда величина Z

z = —

в отсутствие корреляции имеет стандартное нормальное распределение со средним, равным нулю. Обозначим истинное значение коэффициента корреляции р (греческая «ро»). Тогда средним значением z будет Zp /az, где

ZD = - In

р 2

V

1-р

Найдем, какой должна быть чувствительность, чтобы по выборке объемом 10 при уровне значимости 0,05 обнаружить корреляцию р, не меньшую 0,9. На рис. 8.14 приведены два распределения z — для нулевого коэффициента корреляции и истинного, равного р. (Заметьте, насколько этот этот рисунок похож на рис. 6.7.) Чувствительность равна площади под истинной кривой распределения z справа от критического значения za •

Вычислим

ZD = -In

р 2

V

1 + Р 1-р

\

У

Л in 2

1 + 0,9 1-0,9

= 1,472

и

п -3

= 0,378.

Уровню значимости a = 0,05 соответствует критическое значение za = 1,960. Центром распределения z является Zp/az = = 1,472/0,378 = 3,894. От этого центра критическое значение za от_

Распределение г при р = 0,0

0

стоит на 1,960 -3,894 = -1,934 стандартных отклонения. Из табл. 6.4 находим, что площадь части стандартного нормального распределения, расположенной правее-1,934 стандартного отклонения от центра, составляет примерно 0,97. То есть искомая чувствительность равна 97%.

Итак, чувствительность 1-р, необходимая для обнаружения корреляции, не меньшей р, при уровне значимости а и при объеме выборки п равна площади под кривой стандартного нормального распределения правее точки

(

п =

+ 3.

Эта формула для нахождения чувствительности по известному объему выборки. Если нужно найти объем выборки, при котором достигалась бы чувствительность 1-р, то, разрешив это уравнение относительной, получим:

СРАВНЕНИЕ ДВУХ СПОСОБОВ ИЗМЕРЕНИЯ: МЕТОД БЛЭНДА—АЛТМАНА

Нередко требуется сравнить результаты измерений, выполненных двумя методами, ни один из которых не является абсолютно надежным. Например, некий гемодинамический показатель определяли непрямым, неинвазивным, методом. Допустим, изобретен новый метод, также непрямой. Естественно выяснить, согласуются ли результаты измерений, выполненных старым и новым методами. Или похожий вопрос — насколько согласованы результаты повторных измерений, выполненных одним и тем же методом.

Итак, с помощью двух методов получены две серии измерений. Казалось бы, ничто не мешает применить регрессионный анализ или рассчитать коэффициент корреляции. Увы, эти, на первый взгляд, очевидные действия могут привести к ложными выводами.

Регрессионный анализ неприменим уже потому, что его результаты зависят от того, какую переменную считать независимой, а какую зависимой. Тут следует подчеркнуть отличие задачи сравнения двух методов измерения от задачи калибровки, в которой приближенные измерения сравниваются с некоторым эталоном. Типичный пример калибровки: приготовив ряд растворов известной концентрации, измерить ее исследуемым методом. Здесь регрессионный анализ вполне применим, поскольку эталон — достоверно известная концентрация — очевидным образом и является независимой переменной. Напротив, при сравнении результатов двух приближенных методов никакого эталона нет.

Что может дать коэффициент корреляции? Положим, он статистически значимо отличается от нуля. Но ценен ли этот факт? Нет, ведь проверялась корреляция измерений одной и той же величины. В этом случае удивления было бы достойно как раз отсутствие значимой корреляции, говорящее о том, что результаты, как минимум, одного из методов нимало не схожи с истинными значениями измеряемого признака. Это практически исключено. Кроме того, как мы видели, даже весьма высоким ко

эффициентам корреляции соответствует довольно значительная неопределенность предсказания зависимой переменной.

Д. Блэнд и Дж. Алтман предложили описательный метод оценки согласованности измерений, выполненных двумя способами*. Идея метода очень проста. Для каждой — выполненной одним и другим способами — пары измерений вычислим их разность. Найдем среднюю величину и стандартное отклонение разности. Средняя разность характеризует систематическое расхождение, а стандартное отклонение — степень разброса результатов. Далее, если в качестве оценки измеряемого признака взять среднее значение пары измерений, то можно определить, зависит ли расхождение от величины признака. Последнее станет понятнее после того, как мы разберем пример применения метода Блэнда—Алтмана.

Два способа оценки митральной регургитации

* Более подробное изложение этой процедуры можно найти в статьях: D. G. Altman and J. М. Bland. Measurement in medicine: the analysis of method comparison studies. Statistician, 32:307—317, 1983 и J. M. Bland and D. G. Altman. Statistical methods for assessing agreement between two measures of clinical measurement. Lancet, 1(8476):307—310, 1986.

Вспомним схему кровообращения. Из правого желудочка кровь поступает в легкие, где насыщается кислородом. Из легких кровь попадает в левое предсердие, затем — в левый желудочек. Отсюда кровь перекачивается по всему телу, снабжая органы кислородом, после чего попадает в правое предсердие и вновь в правый желудочек. Митральный клапан, расположенный между левым предсердием и левым желудочком, при сокращении желудочка закрывается и преграждает крови путь обратно в предсердие. При митральной недостаточности возникает так называемая митральная регургитация: часть крови при сокращении левого желудочка выбрасывается в предсердие. В результате легкие переполняются кровью, что затрудняет их работу. Если митральная регургитация слишком велика, клапан необходимо заменять искусственным, — вот почему ее количественная оценка чрезвычайно важна. Такой оценкой служит фракция регургитации — доля крови, которая при каждом сокращении выбрасы

вается из левого желудочка в левое предсердие. В норме фракция регургитации равна нулю; чем тяжелее митральная недостаточность, тем более фракция регургитации приближается к единице.

Фракцию регургитации можно определить с помощью катетеризации сердца. В левый желудочек вводят катетер, а через него — рентгеноконтрастный препарат. Наблюдая за его распространением, можно определить, какая доля крови выбрасывается в левое предсердие. Описанный способ трудно назвать приятным, дешевым и безопасным.

Э. Мак-Исаак с соавт. предложили определять фракцию ре1,0

к s

X

я

0U

1°

Я о

а о

?Ъ

а> * а о

« Я

0,8

0,6 И

И

к 2

II * я я а

в?

0,4

0,2 0,0

т

0 0 0,2 0,4 0,6 0,8

Фракция митральной регургитации при измерении прямым методом

1,0

е1

о jJ ^ я

с а

5s

|_ я

о а

И

с s ю s

0 IT

I- * я я

> к

СО s

а» х

я с;

J со

s ч

1 о

со о.

я с

о. о

0,4 0,2 -"

0,00,20,4

Среднее + 2 стандартных отклонения

Среднее

Среднее - 2 стандартных отклонения

0 0 0,2 0,4 0,6 0 8 1,0

Среднее значение результатов прямого и допплеровского определения фракции митральной регургитации

Рис. 8.15. А. Фракция митральной регургитации при измерении прямым методом и по данным допплеровского исследования. Б. Сравнение результатов по методу Блэнда—Алтмана. 18-7038

гургитации с помощью допплеровского исследования*. Этот способ значительно проще и вполне безопасен. Насколько согласуются оценки, полученные двумя способами? Фракцию регургитации обоими способами определили у 21 человека. Результаты приведены на рис. 8.15А и в табл. 8.7. Коэффициент корреляции между измерениями, выполненными обоими способами, составил 0,89. Высокое значение коэффициента корреляции говорит о тесной линейной связи, однако для оценки согласованности этого недостаточно.

Помимо самих измерений в табл. 8.7 приведены усредненные по каждому больному значения фракции регургитации и разности этих долей. На рис. 8.15Б изображены разности долей для каждого усредненного значения. Такое представление позволяет сделать ряд выводов. Во-первых, средняя разность между измерениями равна всего лишь —0,03, что говорит об отсутствии систематического расхождения. Во-вторых, стандартное отклонение разностей составило 0,12, что невелико по сравнению с самими значениями. В-третьих, отсутствует зависимость разности измерений от величины фракции регургитации. Таким образом, измерения, полученные обоими способами, хорошо согласуются друг с другом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

* A. I. Maclsaac, I. G. McDonald, R. L. G. Kirsner, S. A. Graham, R. W. Gill. Quantification of mitral regurgitation by integrated Doppler backscatter power. /. Am. Coll. Cardiol., 24:690-695, 1994.

Мы рассмотрели методы, предназначенные для оценки связи между двумя признаками. Успех применения этих методов определяется тем, насколько математическая модель, лежащая в их основе, соответствует действительности. Особенно важна форма зависимости — она должна быть линейной. Поэтому, перед тем как приступить к расчетам, нанесите данные на график — это поможет вам правильно выбрать статистический метод (или отказаться от применения любого из них).

ЗАДАЧИ

8.1. Постройте графики для приведенных наборов данных. Найдите для линии регрессии и коэффициенты корреляции.

X Y X Y X Y

30 37 30 37 30 37

30 47 30 47 30 47

40 50 40 50 40 50

40 60 40 60 40 60

20 25 20 25

20 35 20 35

50 62 50 62

50 72 50 72

10 13

10 23

60 74

60 84

Нанесите данные и прямые регрессии на графики. Что в этих трех случаях общего, в чем различия?

8.2. Постройте графики для двух наборов данных. Найдите для каждого линию регрессии и коэфф