самым

1 S

2 '-'меж

меж

V

меж

В нашем примере (табл. 9.1) умеж = т-1=4-1=3. Тогда 5 ^ =0,685/3=0,228.

Формула для критерия F в новых обозначениях принимает вид:

F =

меж / г меж *^вну / ^ вну

Соответственно, в рассматриваемом примере

F=°^=1A. 0,159

Новая формула для F получена непосредственно из приведенной в гл. 3 и отличается от нее только обозначениями. Поэтому, конечно, значение F = 1,4 совпадает с найденным в гл. 3.

Естественно спросить, зачем же потребовались столь пространные рассуждения и многочисленные тождественные замены? Неужели для одного только повторения ранее полученных результатов? Ответ состоит в том, что переход к использованию вариации дает возможность понять, из каких компонентов она складывается, и в дальнейшем перейти к дисперсионному анализу повторных измерений.

Разложение общей вариации

Внутригрупповая вариация SBHy служит мерой разброса значений внутри групп. В свою очередь, межгрупповая вариация ^меж — это мера разброса групповых средних, то есть различий между группами. Но существует и мера общего разброса значений. Это общая сумма квадратов отклонений всех наблюдаемых значений от их общего среднего. Она называется общей вариацией и обозначается So6ui:

Два символа суммы означают, что суммирование производится по всем группам и всем больным внутри каждой группы.

Число степеней свободы общей вариации обозначается уобш и равно тп-1, то есть оно на единицу меньше общего числа больных (т — число групп, п — число больных в каждой группе).

В рассматриваемом примере ?общ = 4,51 и v общ = 4 х 7 -1 = 27

Обратите внимание, что общая дисперсия, вычисленная по всем наблюдениям, равна

2 _ г б _ ^общ _ ^обш

•^обш — "

тп-1 тп-1 уобш

Существует ли связь между рассмотренными видами вариации: общей, внутригрупповой и межгрупповой? Оказывается, существует, и очень простая. Общая вариация равна сумме внутригрупповой и межгрупповой вариаций:

'-'общ '-'вну ' '-'межДокажем справедливость этого разложения (это доказательство можно пропустить). Тождественно верно

(ХГ6-Х)=(ХГ6-ХГ)+(ХГ-П

Возведем левую и правую части тождества в квадрат:

(Хг6-Х)2 =[(ХГ,-ХГ) + (ХГ-Х)]2. Просуммируем левую часть по всем наблюдениям:

г б

Это не что иное, как общая вариация 5общ. Правая часть преобразуется в

йг6-Хг)2+2(^-Л\-)(Г, -Х) + (ХГ -X)2. Суммируя по всем наблюдениям, получим

ХВ-^гб-^г)2 +2^(хг6-хгххг -х)+^Ц(хг -ху

Г б Г б Г б

Первый член этого выражения, ^^(Хгб -Хг)2, представляет собой значение SBHy. г 6

Покажем, что второй член, 2^^(Хгб -ХГ)(ХГ -Х\ тождественно равен нулю. 6

В самом деле, разность(Xг - X) в каждой из групп постоянна, и поэтому ее можно вынести за знак суммирования по больным:

2??(*гб -Хт)(Xr -X) = 2?(Хт -Xr6-Xr).

г б г б

Но Хг — это среднее по группе, то есть

хг = ^ .

П

В таком случае

гъ -Xг) = ^Хг6-^Хг = ^Хг6-пХг =

б б б б

= п

П

=п(Хг -Хг)=0

Рассмотрим третий член. Поскольку Xг - X для всех больных в группе одинаково,

Х1(ХГ-Ж)2 =n>Z(Xr-X)2,

г б г

а это величина 5меж. Итак, имеем:

^обш — ^вну "I" 0 + ^меж — ^вну ^меж •>

что и требовалось доказать.

Как общая вариация разлагается на две составляющие — вну-тригрупповую и межгрупповую, так и общее число степеней свободы разлагается на внутригрупповое и межгрупповое. Действительно, поскольку

vo6m = mn-l, умеж — их 1 и v3i_jy = то

Vмeж +vBHy = m-\ + m(n-l) = m(l +л-1)-1 =mn-i =vo6lu.

Внутригрупповая вариация

Межгрупповая вариация

'вну

'меж

Общее число степеней свободы

Внутригрупповое число степеней свободы

v,

'вну

Межгрупповое число степеней свободы

меж

Рис. 9.4. Разложение вариации и числа степеней свободы при дисперсионном анализе.

Межиндивидуальная вариация

Внутрииндивидуальная вариация

Обусловленная лечением

Остаточная

'ост

'ле

Межиндивидуальное число степеней свободы

Внутрииндивидуальное число степеней свободы

Обусловленное лечением

Остаточное

'ост

' ле

Рис. 9.5. Разложение вариации и числа степеней свободы при дисперсионном анализе повторных измерений.

Оба разложения изображены на рис. 9.4. Перечисленные величины обычно включают в таблицы дисперсионного анализа наподобие табл. 9.3.

Теперь, наконец, мы располагаем средствами, необходимыми в дисперсионном анализе повторных измерений.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

До сих пор мы имели дело с несколькими группами больных, которые подвергались различным методам лечения. В дисперсионном анализе повторных измерений ситуация иная: одни и те же больные последовательно подвергаются нескольким методам лечения или просто наблюдаются в несколько последовательных моментов времени. По-другому распределяется и общая вариация 5обш (рис. 9.5). Прежде всего можно выделить межиндивидуальную (SMH) и внутрииндивидуальную(?ви) вариацию, последняя, в свою очередь, распадается на обусловленную методом лечения (?ле) и остаточную (SOCJ), обусловленную случайными колебаниями, ошибкой измерения и т. п.

Обозначения, которые мы будем использовать в дисперсионном анализе повторных измерений, приведены в табл. 9.4. Представлены 4 больных, каждого из которых последовательно лечили 3 методами. Значения интересующего нас признака обозначены Хмб, например, ХХ2 — значение у 2-го больного при 1-м методе лечения, Хзх — значение у 1-го больного при 3-м методе лечения и так далее. Величины Х6 (Хх, Х2, Х3, и Х4) — это «индивидуальные» средние (средние значения признака при всех методах лечения у 1-го, 2-го и т. д. больного):

л б - J

т

где т — число методов лечения. Тм (Г,, Т2, Т3, и Г4) — средние значения признака у всех больных при 1-м, 2-м и т. д. методе лечения:

Т =

мб

м

П

где п — число больных.

Общая вариация — это сумма квадратов отклонений всех значений (у всех больных при всех методах лечения) от общего среднего, которое составляет

_ м б .

тп

таким образом,

^обш = X5j(^m6 ~ X) .

м б

Соответствующее число степеней свободы уобш =тп-\.

Общая вариация складывается из межиндивидуальной и внутрииндивидуальной вариации. Рассчитаем внутрииндивиду-альную вариацию Sm. У первого больного сумма квадратов отклонений от индивидуального среднего Хх равна

м

У второго больного

и так далее. Чтобы рассчитать внутрииндивидуальную вариацию, просуммируемSm_ по всем больным:

^ви - ^ви , + ^ви2 + ^ви, + ^ви4 - УЧУХ^мб _ ^б) •

б м

Соответствующее число степеней свободы составляет уви = = п(т-\).

Перейдем к межиндивидуальной вариации. Она складывается из квадратов отклонений индивидуальных средних Х6 от общего среднего X:

SMV] = m^(Xb-X)2.

Множитель т появляется из-за того, что каждое Х6 — это среднее по т методам лечения. Число степеней свободы vMH = = п-\.

Можно показать*, что общая вариация равна сумме внутри- и межиндивидуальной вариаций:

^обш - ^ВИ + ^МИ ?

Теперь из внутрииндивидуальной вариации нам предстоит выделить вариацию, связанную с лечением 5ле, и остаточную вариацию SOCT, связанную со случайными отклонениями и ошибками измерения. Вариация, связанная с лечением, складывается из квадратов отклонений средних по методам лечения Тм от общего среднего X:

Sm=n^Tu-X)2.

Наличие коэффициента п связано с тем, что каждое Тм — это среднее по п больным.

Соответствующее число степеней свободы уле = Остаточная вариация — вторая составляющая внутрииндивидуальной вариации — получается вычитанием:

* Вывод этого равенства см. в: В. J. Winer, D. R. Brown, К. М. Michels. Statistical principles in experimental design, 3d ed. McGraw-Hill, New York, 1991.

^ост — *$ВИ — ^ле •

Аналогично вычисляется и остаточное число степеней свободы VOCT:

v0CT = vBM - уле = n(m-l)-(m-\)=(n-l)(m-\).

Теперь мы можем получить две независимые оценки дисперсии: на основании вариации, связанной с лечением

2 _ ^ле

л ле 1

Vлe

и на основании остаточной вариации:

с

2 _ ^ост

^ ост — ?

^ ост

после чего можно применить знакомый нам критерий F:

Далее следует поступить как при обычном дисперсионном анализе. Вычисленное значение F сравнивают с критическим для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы Чтобы воспользоваться табл. 3.1, нужно в качестве vMeA взяп, v ле, а в качестве vBH> — соответственно vOCT.

Боюсь, читателя утомили сложные выкладки и громоздкие термины, которыми несколько перегружен этот раздел. Пора не рейти к практическим применениям. Как мы уже говорили, дисперсионный анализ повторных наблюдений можно исполью вать не только когда к одним и тем же больным применяется несколько методов лечения, но и когда больные просто наблюди ются в несколько разных моментов времени. Именно на таком, очень простом примере мы и рассмотрим применение дисперси онного анализа повторных измерений.

Гидралазин при первичной легочной гипертензии

Первичная легочная гипертезия — редкое и чрезвычайно тяже лое заболевание, при котором вследствие неизвестных примни повышается давление в артериях легких. Стенки артерии ую i

щаются, что затрудняет газообмен в легких. Из-за повышенной нагрузки на правый желудочек страдает сердце. Без лечения больные живут не более нескольких лет. Гидралазин — препарат, расширяющий сосуды, — успешно используется при гипертонической болезни. Л. Рубин и Р. Питер* предположили, что его можно использовать и при первичной легочной гипертензии. В исследование вошли 4 больных. Измерения производили трижды: перед началом лечения, спустя 48 ч и 3—6 мес лечения. (В дальнейшем мы будем говорить просто о 1, 2 и 3-м измерениях.) Измеряли, в частности, легочное сосудистое сопротивление. Этот показатель отражает тяжесть легочной гипертензии: чем выше сопротивление, тем тяжелее гипертензия. Результаты представлены на рис. 9.6. Похоже, данные говорят в пользу препарата. С другой стороны, они получены на малочисленной выборке. Поэтому не будем доверяться впечатлениям, а воспользуемся дисперсионным анализом повторных измерений.

Обратимся к табл. 9.5. Здесь помимо первичных данных приведены средние значения легочного сосудистого сопротивления для каждого из 4 боль