![]() |
|
|
Медико-биологическая статистикасамым 1 S 2 '-'меж меж V меж В нашем примере (табл. 9.1) умеж = т-1=4-1=3. Тогда 5 ^ =0,685/3=0,228. Формула для критерия F в новых обозначениях принимает вид: F = меж / г меж *^вну / ^ вну Соответственно, в рассматриваемом примере F=°^=1A. 0,159 Новая формула для F получена непосредственно из приведенной в гл. 3 и отличается от нее только обозначениями. Поэтому, конечно, значение F = 1,4 совпадает с найденным в гл. 3. Естественно спросить, зачем же потребовались столь пространные рассуждения и многочисленные тождественные замены? Неужели для одного только повторения ранее полученных результатов? Ответ состоит в том, что переход к использованию вариации дает возможность понять, из каких компонентов она складывается, и в дальнейшем перейти к дисперсионному анализу повторных измерений. Разложение общей вариации Внутригрупповая вариация SBHy служит мерой разброса значений внутри групп. В свою очередь, межгрупповая вариация ^меж — это мера разброса групповых средних, то есть различий между группами. Но существует и мера общего разброса значений. Это общая сумма квадратов отклонений всех наблюдаемых значений от их общего среднего. Она называется общей вариацией и обозначается So6ui: Два символа суммы означают, что суммирование производится по всем группам и всем больным внутри каждой группы. Число степеней свободы общей вариации обозначается уобш и равно тп-1, то есть оно на единицу меньше общего числа больных (т — число групп, п — число больных в каждой группе). В рассматриваемом примере ?общ = 4,51 и v общ = 4 х 7 -1 = 27 Обратите внимание, что общая дисперсия, вычисленная по всем наблюдениям, равна 2 _ г б _ ^общ _ ^обш •^обш — " тп-1 тп-1 уобш Существует ли связь между рассмотренными видами вариации: общей, внутригрупповой и межгрупповой? Оказывается, существует, и очень простая. Общая вариация равна сумме внутригрупповой и межгрупповой вариаций: '-'общ '-'вну ' '-'межДокажем справедливость этого разложения (это доказательство можно пропустить). Тождественно верно (ХГ6-Х)=(ХГ6-ХГ)+(ХГ-П Возведем левую и правую части тождества в квадрат: (Хг6-Х)2 =[(ХГ,-ХГ) + (ХГ-Х)]2. Просуммируем левую часть по всем наблюдениям: г б Это не что иное, как общая вариация 5общ. Правая часть преобразуется в йг6-Хг)2+2(^-Л\-)(Г, -Х) + (ХГ -X)2. Суммируя по всем наблюдениям, получим ХВ-^гб-^г)2 +2^(хг6-хгххг -х)+^Ц(хг -ху Г б Г б Г б Первый член этого выражения, ^^(Хгб -Хг)2, представляет собой значение SBHy. г 6 Покажем, что второй член, 2^^(Хгб -ХГ)(ХГ -Х\ тождественно равен нулю. 6 В самом деле, разность(Xг - X) в каждой из групп постоянна, и поэтому ее можно вынести за знак суммирования по больным: 2??(*гб -Хт)(Xr -X) = 2?(Хт -Xr6-Xr). г б г б Но Хг — это среднее по группе, то есть хг = ^ . П В таком случае гъ -Xг) = ^Хг6-^Хг = ^Хг6-пХг = б б б б = п П =п(Хг -Хг)=0 Рассмотрим третий член. Поскольку Xг - X для всех больных в группе одинаково, Х1(ХГ-Ж)2 =n>Z(Xr-X)2, г б г а это величина 5меж. Итак, имеем: ^обш — ^вну "I" 0 + ^меж — ^вну ^меж •> что и требовалось доказать. Как общая вариация разлагается на две составляющие — вну-тригрупповую и межгрупповую, так и общее число степеней свободы разлагается на внутригрупповое и межгрупповое. Действительно, поскольку vo6m = mn-l, умеж — их 1 и v3i_jy = то Vмeж +vBHy = m-\ + m(n-l) = m(l +л-1)-1 =mn-i =vo6lu. Внутригрупповая вариация Межгрупповая вариация 'вну 'меж Общее число степеней свободы Внутригрупповое число степеней свободы v, 'вну Межгрупповое число степеней свободы меж Рис. 9.4. Разложение вариации и числа степеней свободы при дисперсионном анализе. Межиндивидуальная вариация Внутрииндивидуальная вариация Обусловленная лечением Остаточная 'ост 'ле Межиндивидуальное число степеней свободы Внутрииндивидуальное число степеней свободы Обусловленное лечением Остаточное 'ост ' ле Рис. 9.5. Разложение вариации и числа степеней свободы при дисперсионном анализе повторных измерений. Оба разложения изображены на рис. 9.4. Перечисленные величины обычно включают в таблицы дисперсионного анализа наподобие табл. 9.3. Теперь, наконец, мы располагаем средствами, необходимыми в дисперсионном анализе повторных измерений. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ До сих пор мы имели дело с несколькими группами больных, которые подвергались различным методам лечения. В дисперсионном анализе повторных измерений ситуация иная: одни и те же больные последовательно подвергаются нескольким методам лечения или просто наблюдаются в несколько последовательных моментов времени. По-другому распределяется и общая вариация 5обш (рис. 9.5). Прежде всего можно выделить межиндивидуальную (SMH) и внутрииндивидуальную(?ви) вариацию, последняя, в свою очередь, распадается на обусловленную методом лечения (?ле) и остаточную (SOCJ), обусловленную случайными колебаниями, ошибкой измерения и т. п. Обозначения, которые мы будем использовать в дисперсионном анализе повторных измерений, приведены в табл. 9.4. Представлены 4 больных, каждого из которых последовательно лечили 3 методами. Значения интересующего нас признака обозначены Хмб, например, ХХ2 — значение у 2-го больного при 1-м методе лечения, Хзх — значение у 1-го больного при 3-м методе лечения и так далее. Величины Х6 (Хх, Х2, Х3, и Х4) — это «индивидуальные» средние (средние значения признака при всех методах лечения у 1-го, 2-го и т. д. больного): л б - J т где т — число методов лечения. Тм (Г,, Т2, Т3, и Г4) — средние значения признака у всех больных при 1-м, 2-м и т. д. методе лечения: Т = мб м П где п — число больных. Общая вариация — это сумма квадратов отклонений всех значений (у всех больных при всех методах лечения) от общего среднего, которое составляет _ м б . тп таким образом, ^обш = X5j(^m6 ~ X) . м б Соответствующее число степеней свободы уобш =тп-\. Общая вариация складывается из межиндивидуальной и внутрииндивидуальной вариации. Рассчитаем внутрииндивиду-альную вариацию Sm. У первого больного сумма квадратов отклонений от индивидуального среднего Хх равна м У второго больного и так далее. Чтобы рассчитать внутрииндивидуальную вариацию, просуммируемSm_ по всем больным: ^ви - ^ви , + ^ви2 + ^ви, + ^ви4 - УЧУХ^мб _ ^б) • б м Соответствующее число степеней свободы составляет уви = = п(т-\). Перейдем к межиндивидуальной вариации. Она складывается из квадратов отклонений индивидуальных средних Х6 от общего среднего X: SMV] = m^(Xb-X)2. Множитель т появляется из-за того, что каждое Х6 — это среднее по т методам лечения. Число степеней свободы vMH = = п-\. Можно показать*, что общая вариация равна сумме внутри- и межиндивидуальной вариаций: ^обш - ^ВИ + ^МИ ? Теперь из внутрииндивидуальной вариации нам предстоит выделить вариацию, связанную с лечением 5ле, и остаточную вариацию SOCT, связанную со случайными отклонениями и ошибками измерения. Вариация, связанная с лечением, складывается из квадратов отклонений средних по методам лечения Тм от общего среднего X: Sm=n^Tu-X)2. Наличие коэффициента п связано с тем, что каждое Тм — это среднее по п больным. Соответствующее число степеней свободы уле = Остаточная вариация — вторая составляющая внутрииндивидуальной вариации — получается вычитанием: * Вывод этого равенства см. в: В. J. Winer, D. R. Brown, К. М. Michels. Statistical principles in experimental design, 3d ed. McGraw-Hill, New York, 1991. ^ост — *$ВИ — ^ле • Аналогично вычисляется и остаточное число степеней свободы VOCT: v0CT = vBM - уле = n(m-l)-(m-\)=(n-l)(m-\). Теперь мы можем получить две независимые оценки дисперсии: на основании вариации, связанной с лечением 2 _ ^ле л ле 1 Vлe и на основании остаточной вариации: с 2 _ ^ост ^ ост — ? ^ ост после чего можно применить знакомый нам критерий F: Далее следует поступить как при обычном дисперсионном анализе. Вычисленное значение F сравнивают с критическим для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы Чтобы воспользоваться табл. 3.1, нужно в качестве vMeA взяп, v ле, а в качестве vBH> — соответственно vOCT. Боюсь, читателя утомили сложные выкладки и громоздкие термины, которыми несколько перегружен этот раздел. Пора не рейти к практическим применениям. Как мы уже говорили, дисперсионный анализ повторных наблюдений можно исполью вать не только когда к одним и тем же больным применяется несколько методов лечения, но и когда больные просто наблюди ются в несколько разных моментов времени. Именно на таком, очень простом примере мы и рассмотрим применение дисперси онного анализа повторных измерений. Гидралазин при первичной легочной гипертензии Первичная легочная гипертезия — редкое и чрезвычайно тяже лое заболевание, при котором вследствие неизвестных примни повышается давление в артериях легких. Стенки артерии ую i щаются, что затрудняет газообмен в легких. Из-за повышенной нагрузки на правый желудочек страдает сердце. Без лечения больные живут не более нескольких лет. Гидралазин — препарат, расширяющий сосуды, — успешно используется при гипертонической болезни. Л. Рубин и Р. Питер* предположили, что его можно использовать и при первичной легочной гипертензии. В исследование вошли 4 больных. Измерения производили трижды: перед началом лечения, спустя 48 ч и 3—6 мес лечения. (В дальнейшем мы будем говорить просто о 1, 2 и 3-м измерениях.) Измеряли, в частности, легочное сосудистое сопротивление. Этот показатель отражает тяжесть легочной гипертензии: чем выше сопротивление, тем тяжелее гипертензия. Результаты представлены на рис. 9.6. Похоже, данные говорят в пользу препарата. С другой стороны, они получены на малочисленной выборке. Поэтому не будем доверяться впечатлениям, а воспользуемся дисперсионным анализом повторных измерений. Обратимся к табл. 9.5. Здесь помимо первичных данных приведены средние значения легочного сосудистого сопротивления для каждого из 4 боль |
< К СПИСКУ КНИГ > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 |
Скачать книгу "Медико-биологическая статистика" (7.41Mb) |
[каталог] [статьи] [доска объявлений] [обратная связь] |