в любого из методов, если бы они были в точности равноэффективны.) Затем вычислим сумму квадратов S отклонений истинных сумм рангов, полученных каждым из методов, от средней суммы.

Разберем это на примере данных из табл. 10.12 и 10.13. Для каждого больного средний ранг равен (1+2 + 3 + 4)/4 = 2,5. В общем случае при к методах лечения средний ранг равен

Если каждым методом лечилось п больных, средняя сумма рангов равна л( к +1)/2. В нашем примере я = 5. Поэтому средняя сумма рангов равна 5(4+1)/2 = 12,5.

Значение критерия ? определяется формулой

f n(k + \)^2

где RM — истинные суммы рангов для методов лечения. Тогда для табл. 10.12 находим:

S =(11 -12,5)2 +(14-12,5)2 +(13-12,5)2 +(12 -12,5)2 = = (Ч,5)2+(1,5)2+(0,5)2+(-0,5)2=5,

1+2 + 3 + ...+/: к + \

а для табл. 10.13:

5=(20-12,5)2 + (5-12,5)2+(15-12,5)2 + (10-12,5)2 = = (7,5)2 + (-7,5)2 + (2,5)2 + (-2,5)2 = 125.

Значение S для второй таблицы значительно превосходит значение для первой, что соответствует нашим первоначальным впечатлениям. Величина S позволяет судить, одинакова ли эффективность исследуемых методов.

Однако поделив ее на пк(к + 1)/12, мы получим более удобный критерий:

Км

V ^ J

12 n 12 л(* + 1)У

у2 S= У

г пк(к + \) пк(к + \)^

Это и есть критерий Фридмана. При большой численности группы его величина приблизительно следует распределению X с числом степеней свободы \ = к-\. Однако при к = 3 и «<9и при к = 4 ил < 4 это приближение оказывается слишком грубым. В таком случае нужно воспользоваться приведенными в табл. 10.14 точными значениями X2.

Повторим порядок расчета критерия Фридмана.

• Расположите значения для каждого больного по возрастанию, каждому значению присвойте ранг.

• Для каждого из методов лечения подсчитайте сумму присвоенных ему рангов.

• Вычислите значение X2.

• Если число методов лечения и число больных присутствует в табл. 10.14, определите критическое значение X2 по этой таблице. Если число методов лечения и число больных достаточно велико (отсутствует в таблице), воспользуйтесь критическим значением X2 с числом степеней свободы v = к -1.

• Если рассчитанное значение X2 превышает критическое — различия статистически значимы.

Теперь применим критерий Фридмана для анализа уже знакомого исследования.

Гидралазин при первичной легочной гипертензии

В табл. 10.15 воспроизведены данные о легочном сосудистом сопротивлении из табл. 9.5. В предыдущей главе мы применили к ним дисперсионный анализ повторных измерений. Это допустимо в случае нормального распределения. Но данных так мало, что судить о распределении невозможно. Поэтому прибегнем к критерию Фридмана, не требующему нормальности распределения.

Имеем три измерения {к = 3) у четырех больных (п = 4). Средний ранг для каждого наблюдения 1 + 2 + 3/3 = 2. Средняя сумма рангов для каждого измерения равна 4x2=8. Сумма квадратов отклонений для трех наблюдений:

S=(12-8)2 + (5-8)2 + (7-8)2 =(42)+(-3)2 +(-1)2 = 26,

пк(к + 1) 4x3x4

Эта величина совпадает с критическим значением X2 при п = 4 и к = 3. Соответствующий точный уровень значимости составляет 0,042. Таким образом, различия между измерениями статистически значимы (Р < 0,05).

Множественное сравнение после применения критерия Фридмана

Как всегда, за выявлением различий между несколькими методами лечения должно последовать выяснение, в чем состоят эти различия, то есть попарное сравнение методов лечения. Поскольку число больных, подвергшихся каждому методу лечения, одинаково, для этой цели легко приспособить критерий Ньюмена—Кейлса. Если считать один из методов лечения «контролем», то остальные можно сравнить с ним при помощи критерия Даннета. Если речь идет о повторных наблюдениях в ходе лечения, таким контролем естественно считать значения, полученные перед началом лечения.

Итак, для попарного сравнения методов лечения (или моментов наблюдения) применяется критерий Ньюмена—Кейлса:

где RA и RB — суммы рангов для двух сравниваемых методов лечения, / — интервал сравнения, а я — число больных. Найденное значение q сравнивается с критическим из табл. 4.3 для бесконечного числа степеней свободы. Если найденное значение больше критического, различие методов лечения (моментов наблюдения) статистически значимо.

Для сравнения с контрольной группой применяется критерий Даннета:

где / — число всех групп, включая контрольную, RKQH — сумма рангов в контрольной группе. Остальные величины определяются, как в формуле для q. Значение q' сравнивается с критическим из табл. 4.4 для бесконечного числа степеней свободы.

Пассивное курение при ишемической болезни сердца

При ишемической болезни сердца коронарные артерии сужены атеросклеротическими бляшками. В отсутствие физической нагрузки, когда потребность миокарда в кислороде низка, это никак не сказывается на состоянии больного. Однако при физической нагрузке, когда потребность миокарда в кислороде увеличивается, коронарные артерии уже не могут обеспечить соответствующего увеличения кровотока и развивается приступ стенокардии.

Курение для больных ишемической болезнью сердца особенно вредно. Тому есть несколько причин. Первая — при курении происходит сужение артерий и ухудшается кровоток. К сердцу поступает меньше кислорода и питательных веществ, затрудняется удаление продуктов метаболизма. Вторая причина — окись углерода из сигаретного дыма проникает в кровь и связывается с гемоглобином, замещая кислород. И наконец, третья причина — никотин и другие содержащиеся в табачном дыме вещества снижают сократимость миокарда, уменьшая кровоток и снабжение кислородом и питательными веществами всех органов, в том числе самого миокарда. В результате переносимость физической нагрузки снижается — приступы стенокардии возникают при менее интенсивной и продолжительной физической нагрузке.

Приводит ли к таким же последствиям пассивное курение? На этот вопрос попытался ответить У. Аронов*.

В эксперименте участвовали 10 больных ишемической болезнью сердца. Переносимость физической нагрузки определяли как время, в течение которого больной мог выполнять работу (крутить велотренажер) до возникновения приступа стенокардии.

У каждого больного определяли переносимость физической нагрузки, затем в течение 2 часов он отдыхал в отдельной комнате, где присутствовала специальная группа окуривателей из 3 человек. Окуриватели либо не курили, либо выкуривали по 5 сигарет, в последнем случае помещение либо проветривали, либо не проветривали. После такого отдыха переносимость физической нагрузки определяли вновь. Исследование продолжалось 3 дня, и каждый больной испытал (в случайном порядке) все три вида отдыха, по одному в день. Результаты представлены в табл. 10.16.

* W. S. Aronow. Effect of passive smoking on angina pectoris. N. Engl. J. Med., 299:21-24, 1978.

Сначала, рассматривая данные как 6 отдельных измерений,

оценим статистическую значимость различий между ними. Применим критерий Фридмана. Средний ранг равен

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 _35 6

Средняя сумма рангов по каждому измерению 3,5x10 = 35. Тогда:

S =(44 -35)2 + (53-35)2 + (39-35)2 + + (20 -35)2 + (44 -35)2 + (10 -35)2 = 1352

Полученное значение больше 20,517 — критического зна-ченияX для 0,1% уровня значимости при v = A: —1 = 6—1=5степенях свободы (см. табл. 5.7). Тем самым, различия статистически значимы.

53-10

Чтобы понять, в чем заключаются различия, применим критерий Ньюмена—Кейлса. Все измерения перенумеруем как показано в табл. 10.6, расположим по убыванию сумм рангов и приступим к попарному сравнению. Крайние суммы рангов — 53 при 2-м измерении и 10 при 6-м измерении. Интервал сравнения / = 6, число больных п = 10.

= 7,268.

Значение q превышает 4,030 — критическое значение q для уровня значимости а' = 0,05, интервала сравнения / = 6 и бесконечного числа степеней свободы (табл. 4.ЗА). Различия статистически значимы. Остальные попарные сравнения приведены в табл. 10.17. Уровни четко разделяются на три группы. Первая группа (максимальная переносимость физической нагрузки) включает 1, 2, 3 и 5-е измерения, то есть все три измерения до отдыха, а также измерение после отдыха на свежем воздухе. Вторая группа представлена единственным измерением — после отдыха в прокуренном, но проветриваемом помещении. НакоТаблица 10.17. Попарные сравнения

Разность Критичес-

Сравне- сумм кое значе-

ние рангов / а ние q 7><0,05

2и6 53-10 = 43 6 7,268 4,030 Да

2и4 53 - 20 = 33 5 6,600 3,858 Да

2иЗ 53 - 39 = 14 4 3,430 3,633 Нет

2и5 53 - 44 = 9 3 Нет

2и1 53 _ 44 = 9 2 Нет

1 иб 44 - 10 = 34 5 6,800 3,858 Да

1 и4 44 - 20 = 24 4 5,879 3,633 Да

1 иЗ 44 - 39 = 5 3 1,581 3,314 Нет

1 и5 44 _ 44 = 0 2 Нет

5и6 44 - 10 = 34 4 8,329 3,633 Да

5и4 44 - 20 = 24 3 7,590 3,314 Да

5иЗ 44 - 39 = 5 2 2,236 2,772 Нет

Зиб 39 - 10 = 29 3 9,171 3,314 Да

Зи4 39 - 20 = 19 2 8,497 2,772 Да

4 и 6 20 - 10 = 10 2 4,472 2,772 Да

нец, третья группа (переносимость физической нагрузки минимальная) также содержит единственное измерение — после отдыха в прокуренном непроветриваемом помещении. Между измерениями, вошедшими в разные группы, различия статистически значимы (при а' = 0,05). Общий вывод из работы Аронова: пассивное курение снижает переносимость физической нагрузки при ишемической болезни сердца.

ВЫВОДЫ

Изложенные в этой главе методы предназначены для проверки тех же гипотез, что критерий Стьюдента и дисперсионный анализ, но при этом не требуют, чтобы данные подчинялись нормальному распределению. Заменяя исходные данные рангами и избавляясь тем самым от необходимости делать какие-либо предположения относительно типа распределения, мы сохраняем большую часть информации о значениях признака и их изменениях. Если распределение все же оказывается нормальным, то при этом происходит некоторое снижение чувствительности. Однако если распределение отлично от нормального, непараметрические методы чувствительнее параметрических.

Обратите внимание, что, оперируя не данными, а рангами, рассмотренные методы строятся, в сущности, по тому же принципу, что и